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Confronto tra un semplice modello balistico e i dati sperimentali degli Jedi

15 Settembre 2009

 

        Questo studio trae le sue origini nell'ormai lontano 2004 quando, appena appassionato alla pesca in apnea, iniziai a leggere gli articoli di Anglani sulla balistica comparata delle armi subacquee, rendendomi conto di alcuni "bugs" presenti in questi lavori e adesso corretti dallo stesso autore. I dubbi nati in quegli anni mi hanno convinto a realizzare autonomamente un set di apparecchiature per misurare direttamente alcune grandezze di interesse balistico e ripensare al modello teorico  proposto dall'ing. Anglani.
    In questo primo articolo mostro come la balistica degli arbaletes e rollergun segua un andamento ben definito. La balistica interna è dominata dal contributo degli elastomeri e dalle energie dissipate dagli stessi e dal rinculo. La balistica esterna, invece, è dominata dal contributo dissipativo dovuto alla densità del mezzo in cui si muove l'asta. Queste osservazioni vengono razionalizzate in un modello semplificato che viene messo a confronto con i dati sperimentali relativi agli Jedi 106. Vengono evidenziati i limiti di questo modello tracciando così il percorso delle future investigazioni che dovranno rendere conto delle approssimazioni fatte.

 

Premessa

    Lo studio della balistica degli arbaletes è stato affrontato con un approccio scientifico e razionale da tre ricercatori Giorgio Dapiran, Niko Brummer e Filippo Anglani, i primi due hanno seguito un metodo scientifico con una forte base sperimentale, l'ultimo ha seguito un metodo teorico-pratico.

    Il lavoro dell'ing. Dapiran, pubblicato in più articoli tematici sul suo sito, si basa sulla disamina rigorosa delle osservazioni sperimentali fatte da lui e dai suoi collaboratori servendosi della ripresa del tiro in vasca tramite una telecamera ad alta velocità (1000 fps). Una ricerca ad ampio spettro che tocca molti aspetti delle dinamiche che intervengono durante e dopo la propulsione dell'asta da parte di un arbalete. Inoltre la paziente analisi e misurazione dei singoli fotogrammi, ha consentito di determinare l'andamento della velocità delle aste dei suoi arbaletes, gli Jedi e i SuperJedi, in funzione della distanza da esse percorsa (Fig. 1).
 

Fig. 1. Le curve rappresentano l'andamento sperimentale delle velocità dello Jedi 106 relativamente a differenti configurazioni di aste e sezioni di circolari rilevate tramite una videocamera da 1000 fps.


    Prima di lui, anche l'ing. Niko Brummer, servendosi di un dispositivo optoelettronico, ha determinato la velocità delle aste proiettate dal suo roller-gun RG1 producendo dei tracciati (Fig. 2) con caratteristiche del tutto simili a quelli ricavati dall'ing. Dapiran.
 

Fig. 2. Le curve rappresentano l'andamento sperimentale delle velocità dell'asta del roller-gun RG1. I valori di velocità sono stati rilevati tramite un dispositivo ideato dall'ing. Niko Brummer.

 

    Lo studio balistico dell'ing. Anglani, invece, è condensato in alcuni articoli sulla balistica comparata delle armi subacquee e in un foglio di calcolo recentemente aggiornato per rendere conto di alcune evidenti discrepanze con i dati reali presenti nella prima stesura.

 

    Tutti gli studi pubblicati fin ora, però, non hanno mai messo direttamente a confronto le predizioni di un modello teorico con le rilevazioni sperimentali.

    Per colmare questa lacuna, l'approccio che mi sono prefisso di seguire è quello di verificare se i tracciati di velocità ricavati sperimentalmente (dal momento dello sparo fino all'arrivo sul bersaglio) potessero essere descritti in modo soddisfacente sulla scorta di semplici modelli fisici. Ho, pertanto, realizzato una serie di dispositivi per effettuare misure incrociate della velocità dell'asta e, con l'ausilio del gruppo di ricerca dell'ing. Dapiran, all'inizio del 2009 abbiamo iniziato a produrre una serie di esperimenti balistici atti a verificare prima la bontà dei metodi, poi il loro ulteriore affinamento e la convergenza dei risultati confrontandoli con le rilevazioni effettuate con una telecamera ad alta velocità. Questi dispositivi e i risultati preliminari saranno discussi in un altro articolo. Oltre alla telecamera ad alta velocità, ci siamo serviti di una variante del "sensore Brummer" in cui è stata ottimizzata la rilevazione del segnale (Fig. 3) e di una coppia di cialde piezoelettriche il cui compito è quello di verificare con precisione l'istante dello sparo e quello del raggiungimento del bersaglio.
 

Fig. 3. La curva rappresenta l'andamento sperimentale delle velocità di un arbalete monogomma rilevate mediante un sistema di sensori derivato da quello dell'ing. Brummer. Si può notare da subito la maggiore pulizia del segnale.


Dal confronto delle tre illustrazioni qui sopra si vede che tutti i metodi di misurazione considerati portano a rilevare andamenti della velocità in funzione della distanza percorsa dall'asta con caratteristiche molto simili tra loro. Tutto ciò fa intuire che dovrebbe essere possibile determinare una forma matematica comune più o meno semplice che ne descriva il comportamento generale.
 

Approccio termodinamico

    La questione quindi è come affrontare questa modellizzazione in quanto il fenomeno balistico in un arbalete è sostanzialmente dissipativo sia per il fatto di svolgersi in un mezzo in cui gli attriti di forma e di superficie contano pesantemente, sia per le interazioni che si attuano tra i vari componenti del manufatto sottoforma di frizioni e sottoforma di deformazioni. E' facile intuire come una modellizzazione matematicamente e fisicamente completa di tali dinamiche risulterebbe alquanto onerosa e richiederebbe lunghi studi sperimentali e teorici.

    Si può, pertanto, scegliere di seguire una strada, per così dire, "termodinamica", basata sulla descrizione "media", macroscopica delle interazioni che intervengono nella evoluzione dinamica del sistema arbalete. Il cuore di questo approccio è lo studio dell'energia e dei suoi modi di essere ripartita nel sistema. Questo tipo di approccio non richiede conoscenze fisiche particolarmente approfondite, è abbastanza facilmente comprensibile anche da chi non ha affrontato studi specifici ed ha il vantaggio di offrire una visione "globale" dei fenomeni. Il rovescio della medaglia, come sicuramente intuibile, è che si perde una parte della descrizione: in effetti in questo modo non si sa a priori quanto il modello sia vicino alla realtà se non si esegue una continua verifica sperimentale. Tuttavia, uno dei vantaggi è che questo approccio è "upgradabile", ovvero, quando il modello è palesemente e sistematicamente differente dalla misurazione, allora può essere ampliato con un nuova spiegazione fisica che integri la prima e che renda conto della deviazione osservata.


Schematizzazione di un arbalete

   Creare, dunque, il nostro modello balistico significa tradurre in formule e numeri quanto appena esposto tenendo sempre ben presenti i limiti e le approssimazioni che stiamo facendo.

    Per affrontare efficacemente e in modo univoco questa trattazione è bene schematizzare l'arbalete (Fig. 4) in modo semplice e chiaro.
 

Fig. 4.  Parametrizzazione di un arbalete con elastici paralleli alla direzione di eiezione.

 

bullet

LN = Lunghezza nominale. Dal vincolo degli elastici più prossimo alla testata fino alla tacca o pinnetta più prossima al meccanismo di sgancio. Ovvero dal centro del foro di aggancio o dalla fine delle ogive in testata fino all'ultima tacca.

bullet

La = Lunghezza archetti. Comprende la lunghezza effettiva degli archetti compresa quella della imboccolatura o legatura. Ovvero la parte passiva del sistema di propulsione.

bullet

LC = Lunghezza di carico. LN - La.

bullet

L0 = Lunghezza a riposo. La porzione di elastico che va dal vincolo in testata al punto di intersezione con le ogive. Ovvero la porzione attiva dell'elastico.

bullet

DLC = Elongazione di carico. Allungamento dell'elastico (porzione attiva), dato da LC - L0.

 

Modello semplificato per la balistica interna

    Il modo più semplice che abbiamo per descrivere la spinta degli elastici è ipotizzare che essi abbiano un comportamento lineare per cui se si applica una forza F ad un elemento elastico si ottiene una deformazione (allungamento) DL linearmente proporzionale alla forza applicata:

F = k DL

 

     Quindi, per caricare gli elastici (di costante elastica kC) di un arbalete viene effettuato un lavoro corrispondente all'energia potenziale elastica UC data da:

UC = ½ FC DLC = ½ kC DL2C.

 

Tuttavia i diagrammi sforzo-deformazione di un elastomero possono essere considerati lineari, in generale, solo per un range di allungamento percentuale abbastanza ristretto e dipendente dal tipo di elastico scelto. Ad esempio di quanto dico, riporto un grafico chiarificatore tratto da un noto studio dell'ing. Dapiran in collaborazione con l'ing. Errondosoro.
 

 

Confronto tra tre differenti spezzoni di elastici di eguale lunghezza. L'elastico (a) adottato per i modelli Jedi dell'ing. Dapiran, mostra un diagramma di allungamento pressoché lineare. L'elastico (b), invece, richiede uno sforzo di trazione iniziale elevato per poi tendere ad allungarsi anche sotto piccolo sforzo. L'elastico (c) è il caso opposto a quello dell'elastico (b), ovvero nella sua fase terminale di carica richiede uno sforzo molto elevato per produrre solo un modesto allungamento.


    Quindi, quanto più avremo curato la qualità e il dimensionamento del nostro elastico per farlo lavorare in regime lineare, tanto meglio gli si adatterà il modello di deformazione elastica lineare. Ma, cosa ancor più importante ai fini della progettazione, l'elastico del tipo (a) sarà quello che darà le performances migliori garantendo una spinta progressiva e continua se le sue caratteristiche di scarico saranno altrettanto lineari.

    Infatti gli elastici non restituiranno il lavoro speso per caricarli ma una quota inferiore, detta resilienza e influenzata dai fenomeni di rilassamento e di isteresi.

    Il rilassamento è un fenomeno dipendente dal tempo e legato al riarrangiamento della struttura molecolare dell'elastomero sottoposto a trazione: applicando un dinamometro all'elastico sotto carico e registrando lo sforzo misurato dal dinamometro, osserveremo che questo diminuisce progressivamente nel tempo fino a stabilizzarsi.

    Se si rimuove il carico applicato all'elastico, si può notare come, a causa delle dissipazioni interne alla massa dell'elastico durante la contrazione, la forza restituita sia inferiore a quella impressa per produrre l'allungamento. Tale fenomeno è detto isteresi e comporta che l'energia restituita dagli elastici sia inferiore a quella spesa per allungarli. A causa di tale fenomeno è facile perdere un 10% - 30% del lavoro di carico. Quindi se vogliamo che la velocità di eiezione calcolata sia confrontabile con quella sperimentale, dobbiamo sostituire allo sforzo di carico, lo sforzo che deriva dal ciclo di scarico dell'elastomero che utilizziamo.

 

Ciclo di carico e scarico di un elastico commerciale Cressi G20 (da Errondosoro).

 

Per cui, ipotizzando ancora lineare la relazione tra sforzo e allungamento durante la fase di scarico

(1)

con ks = hkC ed h < 1, possiamo calcolare l'energia resa dall'elastico:

Us = ½ Fs DLs @ ½ ks DL2C = hUC.

(2)

In cui abbiamo, ulteriormente, ipotizzato che l'allungamento residuo sia trascurabile e quindi  DLs @ DLC.

Questa sarà l’energia sprigionata dagli elastici durante la fase di contrazione. Essa servirà ad eseguire un certo numero di lavori (Wi) ed in parte verrà dissipata (Qj): 

 

come lavoro per proiettare le masse di asta, elastici e archetti (cumulativamente indicate con mp) e come lavoro di rinculo, mentre una parte verrà dispersa in lavori di deformazione e dissipata in attriti dovuti in gran parte alle resistenze idrodinamiche e allo sfregamento gomma-gomma e gomma fusto:

 

Se indichiamo con eUs la frazione di energia del ciclo di scarico degli elastici che viene dispersa o dissipata, allora l'energia UP realmente spesa per la proiezione delle masse in gioco sarà:

(3)

E' opportuno notare che il vero ammontare della UP non è a priori determinabile ma può essere desunto per via sperimentale solo per la configurazione e il modello di arbalete che si è realizzato in quanto dipendente dalla esatta conoscenza dei parametri h ed e (ovvero dalla conoscenza della resilienza degli elastomeri e dalla quantificazione degli attriti per quel particolare progetto).

Esplicitiamo la (3) tenendo conto che le masse proiettate in avanti mP = ma + (mel/3) + mar sono quelle dell’asta, degli elastici (per l'esattezza un terzo della massa degli elastici - vedi Box di approfondimento 1) e degli archetti, mentre quelle proiettate all’indietro sono quelle del fusto e di "porzioni variabili" di pescatore a seconda delle condizioni di tiro:

(3b)

Voglio fare notare che in questa espressione è stato introdotto un parametro m  per rendere conto della massa “equivalente” di rinculo, ovvero tutta la massa sospinta all'indietro in cui sono incluse sia le porzioni di pescatore sia le condizioni di tiro: ovviamente, anche opponendo la stessa massa corporea, la massa equivalente sarà differente se spareremo saldamente ancorati ad una roccia o fluttuanti nell'acqua.

Personalmente non mi ritengo soddisfatto dalla definizione di questo parametro, ma in mancanza di esperimenti che ne qualifichino più opportunamente le dipendenze sono forzato ad introdurlo in modo così scarno. Mi riprometto di approfondire meglio questo aspetto in futuro.

Ipotizzando che la quantità di moto si conservi, possiamo scrivere:

 

 che sostituita nell’equazione (3b), ci fornisce la velocità di eiezione dell'asta:

 

(4)

 

Nel momento in cui si realizza la completa contrazione degli elastici, l'asta raggiunge la massima velocità, abbandona gli archetti e viene proiettata fuori dal fusto con la velocità vej che, ancora una volta, non è determinabile con precisione se non a posteriori in quanto richiede la conoscenza del parametro m  (ovvero la conoscenza perfetta delle condizioni di tiro).

La (4), inoltre, mostra come nel limite in cui la massa del fucile o la frazione di massa rinculante tendano ad infinito la velocità di eiezione sia massima e pari a quella che si avrebbe in totale assenza di rinculo.

In pratica, poiché la velocità di eiezione dipende anche dalla massa equivalente meq = mmF, si capisce che affinché la velocità di eiezione dell'asta sia la più elevata possibile anche in condizioni di tiro sfavorevoli, ovvero in cui m è piccola, deve risultare che la massa del fucile sia la più grande possibile compatibilmente con le esigenze di brandeggio.

 

    Grazie a questo modello semplificato possiamo anche ricavare la legge con cui l'asta aumenta la sua velocità durante la fase di contrazione degli elastici fino a raggiungere la velocità massima. Per ricavare una forma matematica che approssimi sufficientemente bene questo andamento, possiamo risolvere l'equazione differenziale (1) che governa il moto armonico e che si può riscrivere:

 

Si trova (vedi Box di approfondimento 2) che la soluzione cercata è:

(5)

dove la variabile x rappresenta (per semplicità) la posizione della punta dell'asta e poniamo x = 0 quando l'arbalete è armato. Questa è l'equazione che approssima la velocità di spinta degli elastici durante la fase di eiezione nell'ipotesi in cui la spinta degli elastici sia linearmente dipendente dalla deformazione.

 

    A questo punto, però, è necessario mettere in rilievo le approssimazioni e i punti deboli del modello proposto. Infatti abbiamo imposto alcune grosse semplificazioni:

  1. La proporzionalità tra sforzo e deformazione è perfettamente lineare (equazione 1).

  2. Abbiamo introdotto alcuni parametri "fenomenologici", h, e e m, per rendere conto di comportamenti "medi" del sistema arbalete. Di questi parametri l'unico che possiamo misurare con facilità è la resa dell'elastico. Gli altri richiedono dei test sviluppati appositamente per la loro determinazione. Inoltre, tali test, se non condotti nel modo opportuno avrebbero una validità solo relativa all'arbalete in studio.

  3. Stiamo ipotizzando che gli effetti dissipativi non influenzino il carattere lineare della spinta (eq. 5).

Il modo migliore di verificare la correttezza del modello e i limiti di applicabilità, ovvero quanto le approssimazioni fatte ne inficiano la precisione, è quello di confrontarlo direttamente con i risultati sperimentali scegliendo, ad esempio, il caso degli Jedi 106.


Confronto con i dati sperimentali degli Jedi monoelastico

    Riassumo i dati che possono essere desunti dalla lettura dell’articolo “Studio balistico degli JEDI” del Maestro Dapiran e relativi alle curve v(x) rappresentate in Fig. 1.

Caratteristiche Arbalete ed Elastici

bullet Lunghezza nominale                  LN       = 106 cm
bullet Lunghezza elastici a riposo        L0       = 68 cm
bullet Sezione elastici                        de       = 19.5 cm

Caratteristiche Aste

bullet Lunghezza asta                         La       = 140 cm
bulletMassa asta Æ 7.0 mm                 ma      = 412 g
bulletMassa asta Æ 6.5 mm                 ma      = 353 g
bulletMassa asta Æ 6.0 mm                 ma      = 306 g

    Dapiran rivela che l’elastico circolare da 68 cm viene allungato di 152 cm producendo una trazione di circa 60 Kg e che questo, stirato, si sviluppa su un anello di circa 220 cm cui corrisponde un fattore di allungamento j = 3.12 dove

 

Per verificare se effettivamente l'ipotesi di linearità tra sforzo e deformazione del modello semplificato è applicabile al caso reale, bisogna disporre del diagramma di sforzo-deformazione completo del ciclo di carico e di scarico dell'elastico, come quello realizzato dall'ing. Errondosoro per gli Jedi del maestro Dapiran.

Ciclo di carico e scarico degli elastici degli Jedi. (Errondosoro)

Si può immediatamente verificare questa linearità tanto durante la fase di carico, quanto durante la fase di scarico. Inoltre se si misura la resilienza in corrispondenza di un allungamento del 300% (600mm) si può notare come questa sia dell'ordine del 91%-92%. Un valore molto elevato, segno di una ottima scelta.

Abbiamo ottenuto le prime due importanti informazioni:
1) La relazione sforzo deformazione è lineare per gli elastici impiegati;
2) La resilienza è dell'ordine del 91%.

Queste informazioni, servendoci della (2), ci consentono di calcolare l'energia teoricamente resa dall'elastico in assenza di attriti e dispersioni varie, ovvero la US in cui h = 0.91.

 

Nota per i fan dei modelli: per ricavare la spinta per gli elastici che utilizzo, mi servo del seguente algoritmo:

 

dove S è l'area della sezione delle gomme.


   
Sostituendo, infine, nella (4) tutte le informazioni che abbiamo a disposizione sugli Jedi, otteniamo le velocità di eiezione e quelle di rinculo previste dal modello. Nella tabella 1 queste sono messe a confronto con i corrispondenti valori sperimentali.
 

Asta

vej teorica

vej sperimentale

vR teorica

vR sperimentale

7.0 mm

25.21 m/s

24.92 m/s

1.18 m/s

1.2 m/s

6.5 mm

26.89 m/s

26.98 m/s

1.12 m/s

1.11 m/s

6.0 mm

28.48 m/s

28.42 m/s

1.06 m/s

1.05 m/s

Tabella 1

E' evidente, che almeno in termini numerici, la corrispondenza è notevole.

   

    Dal momento che la contrazione degli elastici avviene in acqua generando fenomeni di attrito idrodinamico e di cavitazione è intuibile che l'equazione (5), in cui non sono stati presi in considerazione tali eventi, non può che fornire una descrizione solo approssimata e ideale dell'andamento della velocità. Il grado di approssimazione sarà differente da caso a caso in funzione dei dettagli progettuali. Analizziamo ancora una volta il caso degli Jedi.

    La lunghezza di carico DLC degli Jedi risulta compresa tra 67 e 69 cm. Se verifichiamo la lunghezza di contrazione degli elastici tramite le curve di velocità di Fig. 1 misurando la distanza dopo la quale la velocità di eiezione raggiunge il suo massimo valore: si ottiene una lunghezza di 64-67 cm che conferma tre caratteristiche importanti a sostegno del comportamento quasi perfettamente elastico degli elastici montati da Dapiran:

  1. la lunghezza di carico e quella di contrazione sono identiche (nell'ordine di tolleranza dell'errore di misura e di allungamenti residui);

  2. la massima velocità dell’asta si raggiunge solo quando l’elastico è tornato a riposo (a meno di allungamenti residui);

  3. l’asta abbandona gli archetti non prima che la velocità abbia raggiunto il suo massimo e non prima che gli elastici si siano completamente contratti (infatti dopo 67 cm inizia la decelerazione).

Quindi gli Jedi sfruttano efficientemente tutta la spinta possibile massimizzando, in tal modo, il lavoro (½ FL DLC) degli elastici.
    La conferma del comportamento quasi ideale degli elastici montati sugli Jedi la abbiamo anche dal confronto delle curve desunte dal modello proposto (equazione 5) con quelle sperimentali che mostra una notevole corrispondenza tra le due.

 

Fig. 5. Confronto tra la curva di contrazione sperimentale desunta dai dati originali dell'ing. Dapiran e la relativa curva teorica desunta dal modello lineare proposto.


Se effettuiamo una analoga analisi per quel che riguarda la fase di spinta del RG-1 di Brummer otteniamo una ulteriore conferma sulla applicabilità del modello lineare.
 

Fig. 6. Confronto tra la curva di contrazione sperimentale desunta dai dati originali dell'ing. Brummer e la relativa curva teorica desunta dal modello lineare proposto.

 

Modello semplificato per la balistica esterna

    Mentre il modello proposto per la balistica interna trascura inizialmente gli effetti delle resistenze idrodinamiche (valutati in un successivo momento), il modello per la balistica esterna, invece, deve assolutamente tenerne conto sin dal suo sviluppo iniziale a meno di non descrivere un moto ingiustificatamente ideale. Le resistenze idrodinamiche dipendono sia dalla velocità sia dal suo quadrato. Nel caso dell'asta proiettata dall'arbalete si può prendere in considerazione solo la dipendenza quadratica (visto il regime di alte velocità)

R = - ½bv2

 

Inoltre le resistenze idrodinamiche sono le uniche forze agenti dall'esterno sul sistema condizionando la quantità di moto dell'asta. In una tale situazione si trova che l’energia cinetica decresce secondo una legge esponenziale (die away curve - vedi Box di approfondimento 3):

T(x) = Tej exp(-a x)

(6)

da cui si ottiene la relazione cercata che approssima le curve della balistica esterna:

v(x) = vej exp(-a x/2)

(7)

dove x @ x - DLC è lo spazio percorso dall'istante in cui gli archetti non producono più una spinta utile e il parametro a  è un coefficiente che quantifica il progressivo smorzamento dell'energia cinetica posseduta dall'asta. E' intuitivo che tale smorzamento debba dipendere dalle caratteristiche del fluido (densità) e dalle caratteristiche fisiche (massa) e geometriche (forma e dimensioni) del proietto stesso. Possiamo quindi idealmente separarlo in due parti: una, r, dipendente dal mezzo e una, cb, dipendente esclusivamente dalle proprietà del proietto e, per l'appunto, detta coefficiente balistico:

a = r/cb.

(8)

La relazione (8) ha solo un valore formale, così come le (6) e (7) e ciò si deve al fatto che non è disponibile uno studio sistematico e specifico sui coefficienti balistici delle aste per la pesca in apnea che ci possa consentire di determinate teoricamente con certezza il valore da utilizzare.

Inoltre alcune semplici riflessioni ci fanno comprendere che, se da un lato vi siano dei parametri delle aste che possano essere quantificati con facilità, come la sezione e la lunghezza, dall'altro vi sono dei particolari come i pernetti, la presenza o meno di alette incassate, la forma della punta e del codolo dell'asta che sono quantificabili con assai maggiori difficoltà ma restano dei fattori condizionanti tanto per la loro influenza sulle resistenze idrodinamiche quanto, più in generale, per la balistica esterna.

    Ovvio, quindi, che aste della stessa dimensione e dello stesso materiale possano anche avere dei coefficienti balistici simili. Altrettanto ovvio che in presenza di differenze progettuali apparentemente minime ma di impatto sulla forma, ci potranno essere differenze anche notevoli sulla resa balistica. Possiamo trarre un esempio dall'analisi delle curve balistiche degli Jedi 106 e dei SuperJedi.

 

Tabella 2

Nella tabella 2 sono mostrati i dati relativi al coefficiente di smorzamento ricavati dalle curve sperimentali tramite la relazione:

(9)

 

    Si può notare come mentre per le aste da 7.0 mm il coefficiente a  sia praticamente identico tra Jedi e SuperJedi, nel caso delle aste da 6.5 mm, invece, lo smorzamento subito dall'asta del SJ sia notevolmente superiore a causa della presenza del conetto montato da Dapiran su questa asta (vedi "Studio balistico del SuperJedi"). Questo ci fornisce la misura (intuitiva) di quanto una modifica alla forma dell'asta possa incidere sulla sua balistica.

    Oltre che dal fattore di forma, il coefficiente balistico dovrà dipendere dagli attriti di superficie e questo ci fa intuire, ad esempio, l'importanza del freno idrodinamico esercitato dal monofilo e dalle legature dell'asta. Nonostante una massa molto ridotta, 5 m di monofilo da 140 rappresentano un aumento notevole della superficie di attrito e peseranno sulla balistica esterna anche nel caso di arbaletes della potenza del SuperJedi. Differenze, quindi, in legature, lunghezze e sezioni del monofilo portano variazioni più o meno sensibili che complicano un calcolo a priori del coefficiente balistico.

    Vorrei fare un'ulteriore considerazione in merito a quale dovrebbe essere l'andamento del coefficiente di smorzamento in funzione del diametro a parità di lunghezza dell'asta e delle altre caratteristiche geometriche. Innanzitutto notiamo che un aumento del diametro a parità degli altri fattori significa sia un aumento di sezione frontale (attrito di forma) sia, di fatto, un aumento di massa.
E' esperienza comune ed un fatto ormai assodato nel campo della pesca subacquea che un'asta di diametro maggiore, es. 7mm, parte più lenta, ma arriva più velocemente di una più sottile (es. 6.5mm). Questo si traduce nel fatto che l'asta con diametro maggiore (perché ha maggiore massa) possiede un coefficiente di smorzamento minore dell'asta con diametro inferiore. Attenzione, però: non è una conseguenza di una migliore forma idrodinamica, ma solo una conseguenza del fatto che in questi regimi pesano soprattutto gli effetti della maggiore inerzia dovuta alla massa (l'asta sfrutta la sua massa per spostare l'acqua). Dunque il trend secondo cui variano i coefficienti di smorzamento delle aste con diametri da 6.0 mm a 7.0 mm, risulta essere opposto a quello ipotizzato per via teorico-pratica dall'ing. Anglani nella prima stesura della seconda parte del suo articolo, come si può vedere dalla tabella 3.

 

Tabella 3

Questo spiega alcune delle incongruenze con i dati sperimentali che questo primo tentativo di foglio di calcolo ha manifestato.

    Vorrei chiudere l'analisi critica del modello della die-away facendo notare una ulteriore circostanza. Il coefficiente di smorzamento, come formulato dalle (6), (7) e (8), è indipendente dalla posizione (e dal tempo) e, pertanto, l'andamento della velocità che ne deriverebbe presenterebbe una decelerazione uniforme. Tuttavia se, ad esempio, osserviamo bene le curve degli Jedi troviamo che questa circostanza non è sempre vera.
 

Fig. 7. Le curve rappresentano l'andamento sperimentale delle velocità dello Jedi 106 relativamente a differenti configurazioni di aste e sezioni di circolari rilevate tramite una videocamera da 1000 fps.


Infatti alcune curve presentano una zona iniziale ad elevata decelerazione ed in particolare tale zona è tanto più accentuata quanto maggiore è la snellezza dell'asta. Inoltre è evidente che tale zona si estingue non appena l'asta ha esaurito ogni possibile contatto con il fusto. Voglio fare notare, qualora si potesse dubitare, che questa circostanza non dipende né dall'accuratezza del protocollo utilizzato per la rilevazione, né da quella del protocollo usato per le successive misure. Infatti basta dare uno sguardo al tracciato di velocità di fig. 3, ottenuto tramite dei sensori optoelettronici e con protocolli di rilevazione e misura completamente differenti, per rendersi conto che è presente lo stesso tipo di decelerazione iniziale, anche se di entità più ridotta, trattandosi di un'asta da 6.5 mm.

    E' intuitivo che la spiegazione per la maggiore o minore decelerazione osservata deve risiedere nel rapporto tra la potenza installata sull’arbalete e le caratteristiche dell’asta. Aste più sottili tendono a dissipare più energia sin dal momento del loro rilascio, mentre aste di sezione più generosa tendono a ridurre tale fenomeno. A cosa potrebbe essere, dunque, imputabile tale effetto dissipativo? Le risposte potrebbero essere molteplici, ma probabilmente le cause principali di tale dissipazione sono intuitivamente individuabili nel moto oscillatorio cui è soggetta la freccia nei primi istanti della sua corsa e nell'attrito con il fusto. Si intuisce da questo che un ulteriore parametro di cui bisogna tenere conto è la rigidità dell'asta.

 

Considerazioni sull'ambito di utilità del modello balistico

Credo che da quanto esposto si possa concludere che

bullet

mentre è possibile dire che le curve di velocità delle aste degli arbaletes, nei casi illustrati, seguono delle leggi abbastanza precise (vedi simulazioni di fig. 8 e 9), ovvero hanno un comportamento fisicamente interpretabile;

bullet

non è, invece, possibile definire, in base a pochi e semplici parametri costruttivi, un modello che abbia un valore predittivo affidabile, ovvero ingegneristicamente rilevante.

    Questa ultima circostanza ci deve far riflettere sulle aspettative che riponiamo in un modello matematico ogni qualvolta tentiamo di determinare a tavolino le performances balistiche di un arbalete: non potremo mai quantificare con esattezza a priori quelle perdite energetiche che condizionano drasticamente tanto la balistica interna quanto la balistica esterna in quanto esse dipendono strettamente dalle scelte progettuali che abbiamo seguito, quindi non potremo stabilire, se non in modo molto approssimativo (cioè con un errore sperimentale non trascurabile, cioè ben superiore ad 1 m/s), le velocità e l'energia cinetica dell'asta.
 

Fig. 8. Confronto tra l'andamento della velocità dello Jedi 106 rilevata sperimentalmente e la simulazione.

 

Fig. 9. Confronto tra le velocità sperimentali dell'RG-1 e le relative simulazioni.


    Diversamente, questi modelli matematici hanno una buona applicabilità a posteriori, ovvero una volta quantificate con esattezza le grandezze chiave (vedi Fig. 9) oppure per studiare un singolo modello di cui si è preventivamente misurata sperimentalmente la resa energetica (come il caso degli Jedi 106, vedi Fig. 8). In questo ultimo caso, però, la sua utilità non sarà tanto quella di predizione, quanto quella di raffronto e analisi delle "deviazioni". Per convincersene basta tornare a riflettere sulle curve di figura 7: infatti, seppure conosciamo con buona approssimazione la resa dello Jedi 106 e, quindi, siamo in grado di prevedere accettabilmente la velocità di eiezione di aste di vari diametri, la presenza, per alcune di esse, di una zona ad elevata decelerazione non è prevista dal modello con semplice esponenziale decrescente. Questo, ad esempio, servirà a far ragionare il progettista sui motivi che inducono tale deviazione dal comportamento "ideale" descritto dal modello.

    E' bene, infine, far notare una ulteriore circostanza che si evince tanto dalla discussione fatta quanto dall'analisi delle curve di velocità: comportamenti balistici che deviano dalla predizione del modello matematico non sono distinguibili con nessuna metodologia di misura troppo semplice, vale a dire misurazioni della velocità dell'asta ogni 50 cm o rilevazioni dei semplici tempi di volo sono assolutamente insufficienti a questo scopo. Questo tipo di misurazioni alla portata di tutti possono però rappresentare un notevole passo avanti nella conoscenza delle armi subacquee se condotte con la serietà ed il rigore necessario, altrimenti il solo risultato che si otterrà sarà quello di avere aggiunto tanta confusione (sicuramente in buona fede) ad un settore che è già fervente terreno di miti.

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