Home Balistica Arbapillole

 

Sezioni

Home

 

 

 

 

 

Sui limiti di spinta in un arbalete

- Il problema della contrazione libera di un elastomero -

16 Gennaio 2011

Ho già affrontato in parte questo problema in un’arbapillola (che presto verrà rimossa - link) condividendone la preparazione sperimentale con Stefano Soriano (Affertus). Tuttavia quel lavoro in tre articoli ha subito una brusca frenata dopo la pubblicazione del primo in quanto mi sono reso conto di aver commesso alcuni errori fondamentali nella interpretazione dei fenomeni fisici alla base delle osservazioni sperimentali. Il concetto che aveva ispirato l’arbapillola era che la velocità di contrazione di un elastomero sarebbe molto elevata se non vi fossero le resistenze aerodinamiche o idrodinamiche che, quindi, rappresenterebbero un limite fondamentale alla propulsione tramite gomme. In questa ottica la velocità massima raggiunta dal singolo tubo di elastomero che si contrae liberamente (ovvero senza accelerare l’asta) dipenderebbe dalla resistenza del mezzo e dalla forza di carico, cioè dall’allungamento percentuale e dalla sezione dell’elastomero: gomme di sezione superiore dovrebbero, a parità di allungamento, raggiungere velocità di contrazione superiori. Tuttavia i dati sperimentali rivelavano una realtà diversa: la sezione delle gomme non aveva alcuna influenza evidente sulla velocità di contrazione. La sensazione di aver commesso un errore di interpretazione diventava una certezza. L’ipotesi che il limite dovuto alle proprietà intrinseche del materiale fosse molto più basso di quanto credessi prendeva immediatamente corpo: non 100 m/s o 150 m/s limitati dalla resistenza alla penetrazione nel mezzo, ma un valore ben più basso limitato solo per qualche punto percentuale dalle resistenze.

         Da questa riflessione nasce questo articolo che sostituisce e corregge il contenuto dell’arbapillola scritta a suo tempo.

 

         Una delle caratteristiche che chiediamo alla evoluzione delle prestazioni balistiche dei nostri arbaletes è che essi lancino un’asta con velocità sempre maggiore. Ma non basta: chiediamo anche gittata e precisione. Soddisfare tutte queste richieste significa anche cercare un equilibrio tra tutte le componenti di un arbalete, senza contare che tutto ciò si deve combinare con le altre caratteristiche globalmente necessarie  alla pesca.

Se da un lato è vero che il pesce si fa sempre più difficile e rapido e quindi è necessario disporre di un’arma in grado di bruciarne i tentativi di fuga, dall’altro è anche vero che il pesce si tiene sempre più lontano e diventa pertanto necessario disporre di un’arma dalla lunga gittata. Le due cose, abbiamo imparato, non sempre vanno strettamente di pari passo: un’asta poco pesante (dalla sezione contenuta) viene accelerata molto rapidamente, ma altrettanto rapidamente viene rallentata nel suo moto dalle resistenze idrodinamiche; un’asta di buona massa non può godere della stessa accelerazione, ma, di contro, sarà in grado di mantenere una velocità media più elevata su una maggiore gittata e offrirà il vantaggio di una maggiore energia di impatto necessaria a “passare” pesci di mole superiore.

         Ragionando su queste esigenze, spesso ci siamo chiesti quale possa essere il limite di velocità a cui è possibile spingere un’asta. Ben sappiamo, infatti, che un’asta sottoposta ad una accelerazione eccessiva tende ad oscillare (instabilità al carico di punta) perdendo di precisione sul bersaglio e disperdendo una certa energia che ne riduce la gittata e la velocità durante il volo libero (ovvero quando non è più spinta dagli elastici). A quanto mi consta, non esiste ancora una indagine sperimentale (e ancor meno teorica) che ne chiarisca i limiti né dal punto di vista del contenimento dei fenomeni di instabilità né dal punto di vista dei limiti idrodinamici.

        

         In questo quadro mentale ci dimentichiamo che esistono differenti modalità propulsive (pneumatico, arbalete, roller, sistemi a paranchi, etc.) e differenti architetture di fusto e “canna”. Ognuno di questi elementi contribuisce a definire un limite per la velocità massima raggiungibile dall’asta che, pertanto, dipende anche dall’arma.

         Quindi ancor prima di chiederci quale sia il limite di velocità per l’asta, dovremmo chiederci quale sia il limite teorico della tecnologia di propulsione. Nel caso degli arbaletes, dunque, dobbiamo trovare la massima velocità a cui può spostarsi il capo libero della gomma quando questa si contrae senza spingere un asta. Infatti è intuitivo che la velocità a cui può spostarsi una gomma senza carico (senza asta) è sempre superiore a quella a cui si sposterà dovendo trascinare una massa di alcune centinaia di grammi. La contrazione libera, allora, rappresenta il limite superiore dell’insieme delle velocità che possiamo ottenere.

         Se ci riflettiamo, l’impiego di doppi e tripli elastici consente di incrementare la velocità di lancio perché è come se gli elastici si dividessero la massa da trasportare. Aumentando enormemente il numero degli elastici, la massa che ciascuno di essi deve spingere diventa trascurabile e le loro velocità di contrazione si avvicinerebbero a quelle dell’elastico che si contrae liberamente senza carichi. Per questo motivo ha senso studiare la "contrazione libera" di un elastomero per comprendere quali siano i limiti di propulsione di un arbalete.

 

Metodo di indagine sperimentale

Apparato di misura: sensori optoelettronici

Le gomme vengono vincolate ad un capo su un supporto costituito da un fusto per arbalete dotato di un particolare sistema di sgancio sul quale viene direttamente agganciato il secondo capo della gomma (Fig. 1). Il meccanismo di sgancio consente il rilascio della gomma in trazione. Al capo libero della gomma è assicurato un sagolino sul quale sono presenti delle marcature impresse a distanze regolari con un pennarello indelebile che scorre attraverso l'apparato di rilevazione.

Questo è costituito da un diodo emettitore che funge da sorgente IR e da un secondo diodo ricevitore che acquisisce il fascio riflesso dal sagolino. Al passaggio delle marcature sotto la coppia di diodi, il ricevitore rivelerà una modificazione nel segnale. Il segnale così ottenuto viene indirizzato alla scheda audio di un PC che, grazie alla sua elevata frequenza di campionamento, garantisce una acquisizione molto dettagliata del segnale.

 

Fig. 1. Schema dell'apparato di misura utilizzato.

 

Protocollo per le misure di sforzo-deformazione

Le misure di sforzo deformazione sono state ricavate "artigianalmente" in modo quasi-statico tramite sospensione di un carico vincolato al provino di elastomero (fig. 2a). La deformazione relativa è stata misurata caricando la gomma con dei pesi crescenti ogni 30 secondi e prendendo la misura di allungamento (ogni 30 s) a 15 secondi dal posizionamento del peso fino ad un massimo di 17 kg. Le misure di recupero della deformazione sono state effettuate con procedura analoga e misure ogni 30 secondi.

In questo modo si è limitato l'insorgere di fenomeni di rilassamento e, comunque, si è garantito, limitatamente ad una misurazione "alla buona", un certo standard di ripetibilità e correttezza della misura ai fini di un confronto tra i vari tipi di gomme.

 

   

(a)                                                                          (b)

Fig. 2. (a) Apparato per le misure di sforzo-deformazione. (b) Esempio del metodo usato per misurare il diametro delle gomme coestruse: tramite misura diretta con calibro e tramite misura indiretta via software dalla foto in cui la scala graduata del calibro viene usata come riferimento.

 

    Le misure della lunghezza delle gomme sono state realizzate con un metro tradizionale considerando solo le porzioni attive (da legatura a legatura). Le misure, invece, dei diametri e dei fori interni sono state eseguite sia direttamente con un calibro, sia con un metodo indiretto utilizzando foto delle sezioni in cui compare anche il calibro la cui scala graduata funge da riferimento per le misure (fruttando il forte ingrandimento per la misura in pixel). Quest'ultimo metodo è risultato più agevole e preciso nella misurazione dello spessore della pellicola protettiva dei coestrusi.

 

Principali risultati sperimentali

    Per illustrare i principali risultati sperimentali ho voluto impiegare un elastomero prodotto in quattro differenti sezioni (10 mm, 14 mm, 16 mm, 18 mm) e gentilmente offertomi in spezzoni dalla ditta Alemanni circa un anno fa: i  Megatex. Infatti non mi è stato semplice reperire altre gomme per arbalete prodotte su un range di diametri così ampio.  Di queste ho misurato e calcolato tutte le dimensioni principali, il peso, la densità, il modulo di Young per piccole deformazioni (per una forza di carico pari a 4Kg) e la velocità di propagazione del suono per una ragione che sarà chiarita nella trattazione teorica.

    Dalle prove di trazione sono stati ricavati i diagrammi di carico-allungamento per tutti i provini (fig. 3) e i relativi cicli di isteresi (figg. 4 e 5).

Fig. 3. Diagramma carico-allungamento di confronto tra elastici Megatex di varie sezioni.

    Dall'osservazione dei cicli di isteresi si nota che per i diametri da 18 mm e 16 mm la dissipazione di energia interna è molto modesta.

Fig. 4. Ciclo di isteresi per le gomme di diametro 18 mm e 16 mm.

    Il ciclo di isteresi dell'elastico da 14 mm presenta una perdita di carico un po' più marcata in quanto il rivestimento, oltre ad essere leggermente più spesso, conta percentualmente di più nel determinare le caratteristiche dell'intera gomma (fig. 5). Questa circostanza si deve al fatto che nel rivestimento l'effetto Mullins è più marcato per ragioni che illustrerò in un altro articolo specifico. Il ciclo di isteresi ottenuto, invece, lasciando sotto carico il provino per 30 minuti (fig. 5 a dx) mostra una notevole perdita di carico in accordo con l'insorgenza di fenomeni rilassamentali.

Fig. 5. Cicli di carico-scarico per il provino di diametro 14 mm. Ciclo istantaneo a sinistra e dopo 30 minuti di carico a destra.

 

 

    Ho, infine, proceduto alla determinazione sperimentale della velocità di contrazione delle gomme in aria con un allungamento percentuale pari al 283% per i provini delle varie sezioni. I risultati sono illustrati nel grafico di figura 6 e mostrano che, a dispetto dei differenti valori di carico (desumibili dalle curve di figura 3), la velocità della contrazione libera è indipendente dal diametro della gomma.

Fig. 6. La velocità di trascinamento del capo libero di una gomma è indipendente dal diametro della stessa.

    La velocità di contrazione libera, invece, dipende dall'allungamento percentuale, come desumibile dalla figura 7 in cui un elastico Omer da 16 mm di diametro è stato fatto contrarre con vari fattori di allungamento.

Fig. 7. Andamento sperimentale della velocità di contrazione di un provino di elastomero del diametro esterno di 16 mm e di lunghezza 22.5 cm. L’elastomero è stato sottoposto ad allungamenti percentuali differenti.

    Nel grafico di figura 8 è sintetizzato l'andamento della velocità di contrazione in funzione del fattore di allungamento.

Fig. 8. Andamento sperimentale della velocità di contrazione in funzione del fattore di allungamento.

    L'ultimo test eseguito è stato condotto anziché in aria, in acqua per valutare indicativamente l'impatto delle resistenze idrodinamiche sulla velocità di contrazione (fig. 9) che in questo test è risultato attestarsi sul 24% e che si è confermato dello stesso ordine di grandezza anche per altri elastici (22%- 27%).

Fig. 9. Confronto tra la velocità di contrazione libera in aria e in acqua.

 

Interpretazione del fenomeno

    Lo studio della contrazione libera di una gomma che viene rilasciata ad un capo a partire da uno stato di allungamento predeterminato, è abbastanza recente e parzialmente inesplorato. I primi test e le conseguenti trattazioni teoriche da parte della comunità scientifica si collocano attorno agli anni ’50 e ’60 per essere ripresi solo nel primo decennio del 2000. L'assenza di studi antecedenti non deve sorprenderci: l'indagine sperimentale si è resa possibile solo grazie all'impiego delle videocamere ad alta velocità.

    La fisica ci insegna che quando un materiale è sottoposto ad una perturbazione meccanica, lo stress si propaga nel mezzo come un’onda di pressione di velocità c. Nel caso di un tubo di elastomero di lunghezza L0 molto maggiore del raggio R0 della sua sezione trasversale, al quale viene applicata una deformazione infinitesima nella direzione della lunghezza, la velocità di propagazione c dell’onda di pressione (suono) vale:

dove E è il modulo di Young (modulo elastico) per piccole deformazioni e r è la densità del materiale.

     Per schematizzare il problema di nostro interesse, consideriamo un elastico di lunghezza a riposo L0 fissato ad un capo e applichiamo un carico di trazione FC all’altro capo dell’elastico determinando un allungamento fino ad un valore L cui corrisponde una deformazione relativa

ossia il fattore di allungamento

Se la deformazione è perfettamente elastica allora è rispettata la legge di Hooke, s = El, e quindi la dissipazione di energia è trascurabile. Questo caso si applica sufficientemente bene al lattice naturale in cui la deformazione non supera il 250% e implica che l'onda di deformazione, una volta rilasciato il capo libero, si propaghi senza dispersioni. Per fattori di allungamento superiori, invece, compaiono fenomeni di dispersione del fronte d'onda che, per semplicità di esposizione, qui trascurerò riferendomi in prima battuta ad un regime di elasticità lineare.

    Quando il secondo capo dell'elastico viene rilasciato subisce una contrazione libera che si svolge secondo le modalità schematizzate in figura 10.

Fig. 10. Dall'alto verso il basso le fasi successive della contrazione libera di un elastomero.

Al rilascio, l’onda di pressione si propaga nell’elastomero, rispetto al capo vincolato, ad una velocità

Ne risulta che la porzione di elastomero che precede il fronte d(t) dell’onda di pressione si trova ancora sottoposta alla deformazione lC, mentre la porzione che segue il fronte dell’onda di pressione è completamente rilassato e si muove di moto uniforme alla velocità del capo libero x(t):

La velocità di avanzamento del capo libero, dunque, dipende dal fattore di allungamento e dalla velocità c di propagazione del suono nell’elastomero per piccole deformazioni.

Quando l’onda di pressione raggiunge il capo opposto (vincolato), lo spezzone di elastico non è più in tensione e tutta l’energia potenziale di carico si è trasformata in energia cinetica dell’intera massa dell’elastico che impatta con velocità u contro il vincolo fisso. Si genera un’onda di pressione in direzione opposta (l’elastico viene compresso) e hanno luogo dei fenomeni di instabilità che sono fonte del classico accartocciamento “a onde” che osserviamo nei tubi di elastomero per la pesca una volta rilasciata l’asta. Le modalità di contrazione descritte spiegano anche le osservazioni effettuate da alcuni appassionati di balistica che riportano una contrazione “conica” da parte delle gomme per arbalete. Una esemplificazione di quanto avviene nell’elastomero che si contrae è illustrata dal filmato sottostante tratto dal sito della Royal Society.

Per la visione è necessario abilipare il plug-in di Quicktime

Filmato ad alta velocità della contrazione di un elastomero. Si nota distintamente la separazione tra la porzione ancora sottoposta a strain e la porzione ormai rilassata che la segue a velocità costante. (Royal Society)

Ho volontariamente affrontato il caso particolare della contrazione libera in cui è valida l’ipotesi di elasticità lineare, tuttavia la situazione in cui ci troviamo abitualmente ad operare è differente dal momento che gli allungamenti utilizzati per la pesca sono dell’ordine di j ≥ 3.0. In questo caso le dissipazioni interne non possono più essere trascurate e il materiale non va più incontro ad un rilassamento istantaneo nella porzione che segue il fronte d’onda, ma resta presente una certa deformazione residua rappresentabile come effetto di una tensione T2 in direzione opposta al moto (fig. 11).

Fig. 11. Dinamica dell'onda di deformazione in regimi di elasticità non lineare (caso generale).

In questo caso la trattazione matematica va troppo al di la degli scopi di questo sito e si basa sul fatto che il modulo di Young non può più essere quello per piccole deformazioni, ma deve essere preso in considerazione il suo valore “locale” in funzione della deformazione

e che per via della tensione residua l’onda di pressione può raggiungere il capo libero prima che tutto lo spezzone si sia contratto generando un disturbo di ritorno che interferisce con l’onda di contrazione e che si accompagna a fenomeni di dispersione.

Questa situazione è interessante anche perché, mentre in gomme naturali il fenomeno della dispersione è modesto in quanto gli effetti della viscosità interna sono moderati, in gomme sintetiche, in cui l’isteresi è più marcata, la dispersione è così accentuata che si osservano differenti porzioni di elastico viaggiare a velocità apprezzabilmente differenti da altre. Anche questo fenomeno è stato saltuariamente riportato da alcuni pescatori in apnea particolarmente attenti come una “contrazione pulsata”. Personalmente non l'ho potuto verificare sperimentalmente.

    Le formule che legano la velocità di trascinamento del capo libero e la velocità di propagazione del fronte d'onda principale di deformazione al modulo di Young e alla densità del materiale, restano valide se il valore del modulo elastico considerato sarà quello locale.

    L'applicazione principale, per i nostri interessi, è che dalla misura della velocità di contrazione libera di un elastico in funzione del fattore di allungamento, si può ottenere la reale curva di scarico dinamica delle nostre gomme, o, alternativamente, dalle curve di carico e scarico quasistatiche di un elastomero, si può ricavare una indicazione della velocità di contrazione che ci si può attendere per l'elastomero acquistato.

    A titolo di esempio ho riportato i dati di velocità di contrazione in aria dei Megatex a varie percentuali di allungamento (fig. 12) determinate sperimentalmente da Stefano Soriano con un metodo di induzione elettromagnetica. Si vede come questi dati confermino che la velocità di contrazione dipende solo dal fattore di allungamento e non dalla sezione, e come la curva teorica delle velocità di contrazione, desunta sulla base dei dati sperimentali quasistatici di stress-strain, sia estremamente vicina ai valori sperimentali delle velocità stesse.

Fig. 12. Confronto tra i valori sperimentali di velocità di contrazione di elastici Megatex e la corrispondente curva teorica basata sui dati quasistatici. Si nota che le velocità di contrazione sono identiche per le tre differenti sezioni, ma dipendono dalla deformazione relativa..

     Non può mancare, anche se basata su pochi dati, una breve analisi della contrazione in acqua dei medesimi elastici Megatex. In figura 13 ho riportato tali valori comparati con i dati di contrazione in aria (ricavati sperimentalmente sempre dall'amico Stefano Soriano). Come si vede anche dal dettaglio dei valori numerici riportati nella tabella sottostante, la perdita dovuta alle resistenze idrodinamiche, per fattori di allungamento attorno al 300% (strain 200%), si attesta attorno al 25% sia per gli elastici da 16 mm sia per quelli da 18 mm.

 


 

Fig. 13. Confronto tra i valori sperimentali di velocità di contrazione di elastici Megatex in aria e in acqua.

    Allo stesso fattore di allungamento, per gli elastici da 14 mm, invece, le perdite sembrano essere superiori (28.5%) e le velocità di contrazione in acqua degli elastici da 16 e 18 sono, dunque, più alte contrariamente a quanto generalmente si crede nell'ambiente della pesca. In effetti ci potrebbe essere una ragione ben precisa: questa volta le resistenze idrodinamiche sono determinanti e fanno sì che ad una forza propulsiva superiore (elastici da 18 e da 16) corrisponda una velocità limite superiore come schematizzato in fig. 14.

Fig. 14. Un oggetto sottoposto ad una forza propulsiva costante che si muove in un mezzo viscoso aumenta la sua velocità fino ad un valore limite che raggiunge nell’istante in cui la forza resistente R eguaglia la forza propulsiva F. All’aumentare della forza propulsiva (F > F’), aumenta la velocità limite dell’oggetto.

    I dati di contrazione in acqua meritano un'altra e ben più importante riflessione (meno influenzata da eventuali errori di misura): la perdita dovuta alle resistenze idrodinamiche è più consistente per fattori di allungamento superiori. Dalla tabella in fig 13 si vede, infatti, che gli elastici da 14 mm stirati al 400% perdono circa il 34.4%. Questo valore si discosta significativamente dal 28.5% misurato a fattori del 300% e la maggiore perdita va considerata sicuramente reale.

 

Conclusioni

A conclusione di questa trattazione bisogna rilevare dunque che:

- la massima velocità di avanzamento del capo libero di una gomma è limitato dalla velocità di propagazione del suono tipica di quel materiale per quel determinato fattore di allungamento;
- in un mezzo viscoso come l’acqua, la velocità di avanzamento del capo libero è ulteriormente limitata dagli effetti di resistenza idrodinamica e la perdita dovuta alle resistenze rappresenta circa il 22%-27%, a seconda dell’elastomero usato, per fattori di allungamento dell'ordine del 300%;
- elastici più sottili consentono allungamenti percentuali superiori che garantirebbero delle velocità di contrazione più elevate, ma perdite in acqua decisamente più rilevanti che diventerebbero ancora più rilevanti al momento di spingere un carico quale è l'asta.

L'indagine di queste pagine non è completa e non potrà dirsi conclusa senza che venga affrontato un confronto tra alcuni dei vari elastici in commercio e, soprattutto, finché non saranno condotti esperimenti che legheranno la contrazione libera alla spinta di un'asta.

        

 

Ringraziamenti:
   Un caloroso ringraziamento va all'amico dott. Stefano Soriano che
ha contribuito in modo fondamentale nella realizzazione di questo lavoro e alla cui cortesia e capacità si deve parte dei dati qui presentati.
   Ringrazio calorosamente anche il produttore di Rollergun, Itio Alemannni, che mi ha messo gratuitamente a disposizione gli spezzoni di elastici Megatex utilizzati per queste analisi sperimentali.
   "Last but not least"  ringrazio l'amico Giorgio Dapiran per il fondamentale materiale videografico messomi a disposizione e per il continuo supporto e incitamento in questo mio hobby.

Arba Arba

Letture

 

bullet

Dapiran: il pescatore subacqueo del III millennio

bullet

Apnea Magazine: L'e-zine di apnea e pesca in apnea

bullet

Arbaffertus

bullet

Futuro pescasub

bullet

I love pescasub

bullet

Morgansub

bullet

Niko Brummer's RollerGun

bullet

Pesca Facile

bullet

Pescasubacquea.net

bullet

Pescasub e Apnea

bullet

PescaSubApnea.net