Box di approfondimento 3: Die-Away
Ricavare rigorosamente
la forma della die-away e, in particolare, dei parametri da cui dipende è piuttosto
complesso e travalica lo scopo di queste pagine.
Tuttavia è possibile
rendersi facilmente conto della dipendenza funzionale che esiste tra la
velocità e la posizione di un corpo che si muove ad alta velocità in un
mezzo denso.
La seconda legge della
dinamica si può scrivere
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(i) |
Per un corpo che si
muove in un mezzo in cui le resistenze dipendono dal quadrato della
velocità si deve risolvere l’equazione differenziale
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(ii) |
ovvero
La cui integrazione
fornisce
Prendendo
l’esponenziale di ambo i membri si ricava la dipendenza della velocità
dalla posizione:
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(iii) |
Da cui si ottiene
facilmente l’energia cinetica
Abbiamo
perciò ottenuto che l’energia cinetica decresce secondo una legge
esponenziale del tipo die away
curve:
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T(x) = Tej
exp(-a
x) |
(iv) |
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