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Box di approfondimento 2: Il calcolo della velocità di contrazione degli elastici

Il modello dell'oscillatore armonico è regolato dall'equazione

 

la cui soluzione più semplice può essere scritta nella forma

x(t) = A sin(wt)

(i)

che descrive la posizione della massa oscillante istante per istante con pulsazione . La velocità di tale massa, allora è descritta dalla

(ii)

In un sistema meccanico isolato l’energia si conserva, ovvero si conserva la somma della energia potenziale e cinetica:

E = U + T = ½ kx2 + ½ mv2 = cost.

(iii)

Sostituendo (i) e (ii) nella (iii) si ottiene

E = U + T = ½ kx2 + ½ mv2 = ½ kA2

 

da cui

½ mv2 = ½ kA2 -½ kx2 .

(iv)

La (iv) consente di derivare la legge che regola la velocità della massa m in funzione della sua posizione x:

(v)

Adesso bisogna ricavare i valori di A e w.

Indichiamo con DLC la deformazione della molla. Allora per x = DLC risulta v=0 che sostituito nella (iv) fornisce

A = DLC.

(vi)

 Per x = 0, invece, v = vmax che sostituiti nella (v) forniscono:

.

(vii)

Sostituendo (vi) e (vii) nella (v) si ottiene la relazione cercata

 

(viii)

Nel caso della nostra descrizione dell’arbalete, l'origine del sistema di riferimento è spostato della quantità DLC, ovvero v = vmax quando x = DLC. Quindi la (viii) diventa

 

(ix)

   

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