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Box di approfondimento 1: Il calcolo della massa proiettata

Come si è fatto notare la velocità di eiezione dell'asta dipende dalla massa di tutti i componenti in movimento e questo perché è proprio grazie all'energia potenziale degli elastici e alla loro contrazione che l'asta può ricevere la spinta necessaria alla sua proiezione. Tuttavia bisogna notare che non tutte le porzioni degli elastici si muovono con la stessa velocità, anzi è esattamente il contrario. Per cui a noi interessa determinare qual è il contributo all'energia cinetica dovuto all'elastico di massa mel.

In un primo tempo mi aveva convinto l'argomentazione dell'ing. Dapiran che suggeriva che il contributo cinetico dovuto alle gomme fosse pari a quello equivalente ad un quarto della massa dell'intero elastico.

Ad un esame più approfondito, ho preferito seguire una spiegazione differente che qui propongo.
 

L'estremo dell'elastico che vincola l'archetto e le ogive si muove con la stessa velocità va con cui si muove l'asta. Mentre l'elemento infinitesimo di massa dm, posto a distanza x dal vincolo dell'elastico in testata, si muove con una certa velocità vx. Poiché possiamo immaginare la distribuzione delle velocità lungo l'elastico come avente una distribuzione con inviluppo triangolare, possiamo ricavare facilmente, dalla similitudine dei triangoli, la velocità vx:

(i)

Ipotizzando costante la sezione del tubo di elastomero, la frazione di massa dm contenuta nel volumetto dt = Sdx è pari a

(ii)

Essendo l'energia cinetica di tale elementino

 

l'energia cinetica dell'intera massa dell'elastico è

(iii)

Sostituendo la (i) e (ii) nella (iii) si ottiene

(iv)

da cui si ottiene che il contributo dell'energia cinetica dell'elastico equivale a quello di un terzo della sua massa.

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