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Sulla velocità di contrazione degli elastici

Parte prima: contrazione in aria

13 Gennaio 2010

          Gli elastici sono il cuore degli arbaletes e dei roller. E' giusto che su di essi si concentrino le nostre curiosità, a volte anche solo speculative. Ho voluto mettere il fuoco sulle velocità degli elastici quando questi non spingono un asta ma si contraggono liberamente. Esiste una velocità limite? Da cosa dipende? Come cambia se l'elastico si contrae in aria o in acqua? E' davvero la massima velocità che gli elastici possono imprimere all'asta? Attraverso alcune arbapillole cercherò di dare una risposta a questi quesiti grazie all'aiuto di Stefano Soriano (noto come Affertus) effettuando dei test in parallelo e confrontandone i risultati.

          Credo che questa arbapillola, al di là della bontà dei contenuti, possa rappresentare un buon esempio di collaborazione  tra persone con obiettivi e visioni progettuali differenti, ma accomunate dallo stesso desiderio di conoscenza, curiosità e spirito galileiano.

NOTA: I contenuti di questa abapillola sono parzialmente errati e sono stati corretti e rivisti in un secondo tempo nell'articolo: Sui limiti di spinta in un arbalete.

Considerazioni teoriche

    Un oggetto esteso che si muove ad alta velocità in un mezzo viscoso, come l'aria o l'acqua, viene rallentato dalle resistenze che incontra nell'attraversamento di tale mezzo. Le forze resistenti sono proporzionali al quadrato della velocità con cui si muove l'oggetto. Inoltre, sono tanto più grandi quanto maggiore è la densità del mezzo: la resistenza all’avanzamento offerta dall’acqua sarà ben superiore a quella offerta dall’aria.

Così un elastico che si contrae sottoposto alla forza di richiamo elastico F = - kDx sarà ritardato nel suo moto a causa della forza resistente R = - bv2.

Ai fini della balistica degli arbaletes e dei roller ciò che importa è stabilire a quale velocità viaggia la porzione terminale dell’elastico mentre questo si accorcia. Infatti tale velocità coincide con quella degli archetti e dell’asta durante la fase della balistica interna. Quindi sia da un punto di vista teorico che sperimentale bisogna focalizzare l’analisi su questa porzione delle gomme che comprende ogive ed archetto.

 

Adesso, immaginando di poter trascurare le resistenze idrodinamiche, chiediamoci quale dovrebbe essere la dinamica delle ogive:

Quando l’arbalete è carico, la forza agente sugli archetti è massima e pari alla forza di carico FC = kDLC ma è bilanciata dalla reazione vincolare del meccanismo di ritenzione dell’asta, quindi la velocità è nulla. Non appena si preme il grilletto, gli archetti partono da velocità zero ma con una accelerazione elevatissima dovuta alla forza di carico iniziale. Successivamente, al contrarsi degli elastici, la loro velocità continua ad aumentare, ma l’accelerazione diminuisce progressivamente in quanto diminuisce la forza agente su di essi (la forza di richiamo diminuisce all’aumentare della contrazione delle gomme). L’accelerazione diviene nulla quando non agisce più nessuna forza sugli archetti: la velocità raggiunge il suo valore massimo e non cresce più. Ciò avviene quando l’elastico è completamente contratto.

Questo tipo di descrizione è puramente ideale, tuttavia si adatta benissimo alla descrizione della proiezione durante la balistica interna quando gli elastici spingono un asta di acciaio, come ho mostrato in altre occasioni (fig. 1).

 

Fig. 1. Contrazione di una gomma gomma da 19.5 in acqua durante la fase di spinta dell'asta.

 

Volendo, tuttavia, effettuare una analisi più approfondita, dovremmo prendere in considerazione anche gli effetti della resistenza del mezzo con un notevole aggravio delle complicazioni.

Se consideriamo un oggetto che, partendo da fermo, si muove sospinto da una forza propulsiva costante, risulta semplice integrare le equazioni del moto e ottenere una soluzione analitica, ovvero una “formula” che descrive l’andamento della velocità dell’oggetto in funzione del tempo o dello spazio percorso (Fig.2).

 

Fig. 2. Un oggetto sottoposto ad una forza propulsiva costante che si muove in un mezzo viscoso aumenta la sua velocità fino ad un valore limite che raggiunge nell’istante in cui la forza resistente R eguaglia la forza propulsiva F. All’aumentare della forza propulsiva (F > F’), aumenta la velocità limite dell’oggetto.

 

L’oggetto da fermo, accelera fintanto che la forza che agisce su di esso è superiore alla forza resistente dipendente dal quadrato della velocità. In queste condizioni la velocità aumenta fino a che le due forze, quella propulsiva e quella ritardante non si eguagliano perfettamente. A questo punto la velocità raggiunge il suo massimo e non aumenta più restando pressoché costante. Tale velocità è detta velocità limite ed è tanto più grande quanto maggiore è la forza propulsiva (fig. 2), mentre è tanto minore quanto maggiori sono la densità e la viscosità del mezzo in cui si muove l’oggetto. Questo si deve al fatto che la resistenza si origina a livello di interazioni microscopiche tra l’oggetto e il mezzo fluido. Ne deriva altresì che la forma e la superficie del corpo influenzano la sua capacità di penetrazione: intuitivamente tanto più grandi sono l’area della sezione frontale del corpo e la sua superficie laterale, tanto più elevata sarà la resistenza al moto.

L’esistenza di una velocità limite ci può aiutare nella determinazione sperimentale del coefficiente di penetrazione delle aste o degli elastici. Ma le considerazioni fatte in precedenza ci fanno intuire quanto sia difficile (credo impossibile) trovare una soluzione analitica realistica per il moto di un elastomero che si contrae:

1.     la forza che spinge le ogive non è costante, ma dipende dall’allungamento residuo Dx;

2.  ammesso di poter considerare costante la sezione frontale dell’ogiva, la superficie laterale esposta alle resistenze varia per tutta la fase di contrazione.

Tuttavia possiamo intuire come può evolvere qualitativamente l’andamento della velocità delle ogive: da velocità nulla accelerano fintanto che la forza di richiamo elastica è superiore alla forza resistente. La forza di richiamo diminuisce progressivamente con l’accorciamento, mentre la resistenza aumenta progressivamente con l’aumento della velocità. Quando queste si eguagliano la velocità raggiunge il suo valore limite. Quando la forza residua negli elastici si riduce ulteriormente, la velocità inizia a decrescere (Fig. 3). La velocità limite rappresenta la massima prestazione che quegli elastici caricati con quella determinata forza possono esprimere in quel mezzo (aria o acqua).

 

Fig. 3. Andamento sperimentale della velocità di contrazione di un provino di elastomero del diametro esterno di 16 mm e di lunghezza 22.5 cm. L’elastomero è stato allungato del 211%. La contrazione avviene in aria, un mezzo la cui resistenza è notevolmente inferiore a quella dell’acqua.

 

Per determinare un modo per ricavare il coefficiente di resistenza idrodinamica degli elastici, possiamo schematizzare la forza risultante che agisce sull’archetto come la differenza tra la forza propulsiva e quella ritardante:

ma = kDx - bv2

(1)

La velocità limite viene raggiunta quando l’elastico si è contratto di una certa quantità Dxl, l’accelerazione in questo punto è nulla e quindi

kDxl = bvl 2

(2)

da cui, una volta note sperimentalmente Dxl, vl e k, si ricava il coefficiente di resistenza:

(3)

È corretto notare che b non è in realtà il vero coefficiente di resistenza in quanto questo dovrebbe essere adimensionale e si dovrebbe distinguere tra un coefficiente di forma e uno di superficie, ma viste le difficoltà teoriche possiamo “condensare” il tutto nel singolo numero b.

 

Risultati sperimentali

         Le indagini sperimentali qui presentate sono state condotte separatamente da Stefano Soriano (Affertus) e da me misurando la velocità di contrazione in aria di elastici di varia sezione, differente lunghezza a riposo e diverso allungamento percentuale.

Stefano si è servito di un suo sistema di misurazione di cui chiarirà a tempo debito i principi di funzionamento e in grado di effettuare rilevamenti ogni 5 cm. Io mi sono servito dell’ormai collaudato sensore optoelettronico infittendo le campionature su intervalli di 3.225 cm che consentono di ottenere una lettura appena più precisa.

Fase 0: La scelta dell’elastomero

         Questa indagine, sebbene programmata già da tempo tra le mie prove sperimentali, ha avuto avvio in modo spontaneo e estremamente proficuo sulle pagine di uno dei maggiori forum italiani di pesca in apnea. Tale circostanza ha consentito di poter confrontare i risultati sperimentali di due appassionati separati da 1300 Km di distanza come Affertus e me mostrando dati del tutto simili, anzi, conferme interessanti.

         La circostanza casuale che ha portato a questa analisi comparata ha influito sulla scelta del materiale di studio che purtroppo è differente, ma che mostrerà comportamenti del tutto simili.

         Stefano si è servito di elastomeri coestrusi neri-ambra da 18 mm di diametro esterno e 2.5 mm di diametro interno. Ha analizzato la velocità di contrazione di tali gomme tagliate con due differenti lunghezze, 16 cm e 32 cm, a vari fattori di allungamento.

         Io mi sono servito di gomme nere da 16 mm di diametro esterno e 3 mm di diametro interno della lunghezza di 22.5 cm. Ho analizzato la velocità di contrazione delle stesse a vari fattori di allungamento e poi ne ho variato la massa (aggiungendo un pesetto di piombo) senza variarne la sezione frontale.

Fase 1: Determinazione del ciclo di isteresi

         Il primo necessario passo di questa indagine è stato quello di misurare il ciclo di isteresi degli elastomeri impiegati. Il metodo sperimentale seguito è tanto semplice quanto rozzo, ma sufficiente per una indagine di questo tipo. Si sono messi in trazione gli elastici con pesi noti e se ne è misurato l’allungamento (Fig. 4 e 5).

 

Fig. 4. Ciclo di carico e scarico degli elastomeri nero/ambra utilizzati da S. Soriano per il test.

  

Fig. 5. Ciclo di carico e scarico degli elastomeri neri utilizzati da me per il test.

 

La determinazione del ciclo di isteresi si è rivelata assai utile per stabilire con buona approssimazione la forza di scarico dei rispettivi elastomeri e le relative costanti elastiche k.

 

Tabella 1. Confronto tra le forze di carico degli elastici impiegati per l’esperimento.

 

Fase 2: Determinazione del coefficiente b

         Si è quindi proceduto alla determinazione sperimentale della velocità di contrazione delle gomme in aria. I risultati sono illustrati nei grafici di figura 6 e 7.

 

Fig. 6. Andamento sperimentale della velocità di contrazione di un provino di elastomero del diametro esterno di 16 mm e di lunghezza 22.5 cm. L’elastomero è stato sottoposto ad allungamenti percentuali differenti. È immediato notare come la velocità limite aumenti all’aumentare della forza iniziale di carico.

 

Fig. 7. Andamento sperimentale della velocità di contrazione di un provino di elastomero del diametro esterno di 18 mm e di lunghezza 16 cm al variare dell’allungamento percentuale (dati S. Soriano).

 

Si può subito notare come gli andamenti sperimentali si avvicinino alle aspettative teoriche che abbiamo analizzato in precedenza indipendentemente dal metodo di misura sperimentale seguito per ottenerli.

La corrispondenza e l’interesse dei risultati aumenta se tabelliamo le grandezze Dxl, vl e k che ci servono a determinare il coefficiente di penetrazione in aria. Infatti il coefficiente di penetrazione che viene fuori dall’analisi delle curve ottenute da me su un elastico nero da 16 mm, sia quello che viene fuori dall’analisi delle curve ottenute da Stefano su un elastico coestruso nero-ambra vale approssimativamente 0.0075. In realtà, viste le grosse indeterminazioni sul calcolo (io campiono ogni 3.225 cm e Affertus ogni 5.0 cm) possiamo dire che b è compreso tra 0.006 e 0.009.

 

Tabella 2. Dati sperimentali relativi all’elastico nero da me utilizzato per le prove.

 

Tabella 3. Dati sperimentali relativi all’elastico nero/ambra utilizzato da S. Soriano per i suoi test.

 

Grazie ai grafici di carico e scarico possiamo valutare la forza agente sulle ogive al momento in cui si realizza l’equivalenza con la forza resistente. Infatti conoscendo la Dxl indicata nelle tabelle con  “x equilibrio”, la “F equilibrio” sarà data da Feq = kDxl. Questo valore è stato inserito nella tabella 2 per ogni Dxl. Questo valore è importantissimo perché graficato in funzione della velocità limite ci conferma la natura del fenomeno che stiamo osservando: la dipendenza della forza dal quadrato della velocità (fig. 8).

 

Fig. 8. Dipendenza della forza resistente al variare della velocità limite.

 

In figura 9, invece, è mostrato come la velocità limite aumenti all’aumentare dell’elongazione percentuale, ovvero della forza iniziale impressa.

 

Fig. 9. Andamento sperimentale della velocità limite per tutti i set di provini impiegati.

 

Come ultima curiosità ci si può chiedere cosa avviene se si aggiunge una piccola massa all’elastico. In questo caso ho aggiunto 12 grammi di piombo ad un elastico stirato del 284% e confrontato con un tiro effettuato con lo stesso allungamento ma senza peso aggiuntivo (fig 10). Ne risulta che l’effetto di un incremento di massa è quello di ritardare il punto di raggiungimento della velocità limite, ma questa resta praticamente la stessa.

 

Fig. 10. Raffronto sperimentale della velocità di contrazione al variare della massa applicata alle ogive.

 

Ringraziamenti:
    Un caloroso ringraziamento va sicuramente all'amico dott. Stefano Soriano che
ha contribuito in modo fondamentale nell'alimentare il mio entusiasmo nella realizzazione di questo lavoro e alla cui cortesia e capacità si deve parte dei dati qui presentati.

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