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Alcuni piccoli segreti del doppio circolare

20 Ottobre 2009

          Questa arbapillola in realtà rappresenta una "eccezione" alla regola che mi sono imposto. Infatti i dati su cui si basano le mie considerazioni non sono ancora sufficienti a giungere a delle conclusioni generali. La ragione che mi ha spinto a sottoporre ai miei quattro lettori questo lavoro ancora incompleto, si deve al fatto che alcuni stimati amici dello staff tecnico del forum di Apnea Magazine mi hanno sollecitato una risposta ad alcune domande sulla balistica delle varie configurazioni del doppio circolare. Ho scelto, allora, di condividere qui le mie riflessioni in merito, avvertendo però che sono ad uno stadio molto iniziale. Se i dati sperimentali qui presentati troveranno ulteriori conferme su una popolazione di test più ampia, questo lavoro verrà ampliato e confluirà tra gli altri articoli inerenti la balistica.

 

    Con questa arbapillola proseguo la serie dedicata all'integrazione degli elastici nel progetto arbalete chiedendomi quali particolarità possa introdurre l'impiego del doppio circolare. Differenze nella corsa tra i due circolari, utilizzo di elastici di sezioni diverse, la posizione dei fori per l'alloggiamento delle gomme sono variabili che danno dei risultati imprevisti?

    Il quesito, di per sé, sembra apparentemente banale e in tal modo è stato trattato da eminenti esponenti e progettisti della pesca in apnea: vale il principio di sovrapposizione degli effetti! Affermazione, questa, assolutamente condivisibile dal punto di vista teorico, ma non necessariamente da quello sperimentale: infatti, secondo me, esiste in merito un parziale vuoto di conoscenza che ha portato alcuni a degli errori di valutazione.

     Cercherò di illustrare il mio punto di vista, ma sottolineo che posso esprimere, al momento, poco più di una opinione supportata da un numero di prove sperimentali ancora insufficienti a chiarire la questione in modo definitivo.
 

Il principio di sovrapposizione degli effetti

         È un principio fisico sufficientemente generale, ma come tutti i principi fisici ha dei limiti di validità. Attiene al formalismo della teoria della risposta lineare (a mio modo di vedere uno dei capitoli più affascinati della fisica per il suo potere descrittivo e interdisciplinare) che comporta l’utilizzo di una matematica un po’ più complessa di quella che sarebbe lecito impiegare in queste pagine.

         Nel caso degli arbaletes con doppio circolare, prevedrebbe che “gli effetti” dei due circolari si possano sommare e questo vale qualunque siano i fattori di allungamento scelti e qualunque siano le sezioni delle gomme: in pratica la spinta che riceve l’asta è quella equivalente alla somma delle spinte dovute ai due elastici qualunque sia la forza che essi esprimono singolarmente e qualunque possa essere la velocità con cui si contrarrebbero singolarmente.

Tutto ciò, in linea di principio, è perfettamente corretto, ma

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da un lato, preso troppo semplicisticamente, ha portato a calcoli teorici non corretti nello sviluppo di alcuni fogli di calcolo diffusi sulla rete internet;

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dall’altro vi sono degli elementi sperimentali che fanno pensare a delle eccezioni non sempre prevedibili teoricamente.
 

La spinta di un singolo circolare

         Nell’articolo “Confronto tra un semplice modello balistico e i dati sperimentali degli Jedi” ho mostrato che tanto da un punto di vista teorico, quanto grazie alle rilevazioni sperimentali effettuate con ben due metodi di indagine differenti, risulta evidente che per un singolo circolare o per una coppia di lineari:

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l’asta raggiunge la sua massima velocità quando gli elastici sono completamente contratti;

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in tale istante essa abbandona gli archetti e, non godendo più di una spinta, inizia a rallentare.

La massima velocità raggiunta dall’asta è, dunque, anche la velocità di eiezione. Si è visto, inoltre, che il modo con cui varia tale velocità durante la fase di lancio è grossolanamente descritta dalla legge

(1)

in cui la velocità di eiezione dipende dall’energia effettivamente disponibile per la proiezione, e dalle masse proiettate

(2)

In quest’ultima espressione ho volutamente trascurato gli effetti di rinculo solo per semplificare il ragionamento e non appesantire le formule: il fucile è messo in morsa.

 

Spinta del doppio circolare - Caso 1: fori separati e distanziati quanto le tacche

         È quella che io ritengo la soluzione più razionale di spinta. I due circolari sono di identica sezione e di identica lunghezza. Inoltre sono vincolati in posizioni la cui distanza è esattamente eguale alla distanza che intercorre tra le pinnette o tacche di aggancio. In tal modo la forza espressa istante per istante dai due elastici è la stessa, la spinta inizia e termina esattamente negli stessi momenti per entrambe le gomme cosicché l’energia trasferita all’asta sarà, in teoria, esattamente il doppio di quella trasferita dal singolo. Anche la costante elastica dei due circolari (equivalente alla pendenza della retta) appare essere la stessa, come si può valutare dai diagrammi carico-allungamento di fig. 1.

Fig. 1. Diagrammi di carico per due circolari identici. La forza di carico e l'allungamento sono eguali per entrambe gli elastici. Essi, se la distanza tra i fori di alloggiamento è eguale alla distanza tra le tacche, trasferiranno all'asta la stessa quantità di energia iniziando e terminando la spinta in perfetta sincronia.

Per quanto detto la velocità di eiezione sarà data da:

(3)

dove le masse proiettate devono tenere conto della presenza del secondo elastico e delle relative ogive e archetto:

(4)

La posizione distanziata dei fori di alloggiamento dei circolari, inoltre, fa sì che essi lavorino senza interferire (sfregare e urtare) tra di loro e rende più semplice effettuare aggiustamenti atti a regolare la tensione tra i due bracci del circolare.

 

Questa è, ad esempio, la soluzione adottata dall’ing. Dapiran per il suo Saber 100. Il diagramma sperimentale che illustra la velocità dell’asta (fig. 2) è del tutto simile a quello di un arbalete avente il singolo elastico.

Fig. 2. Le curve rappresentano l'andamento sperimentale delle velocità del Saber 100. I dati sono stati acquisiti con un dispositivo optoelettronico. La curva della balistica interna (i primi 60-70 cm) ha l'andamento tipico del singolo elastico: ciò si deve alla particolare scelta tecnica di posizionamento dei fori.

 

Spinta del doppio circolare - Caso 2: monoforo

         È la soluzione diametralmente opposta a quella precedente: i due circolari vengono alloggiati entrambe nello stesso foro. Soluzioni intermedie sono quelle in cui i fori sono separati ma situati a distanze inferiori di quella che separa le pinnette.

         Solitamente, quando si impiega questa soluzione, si tagliano le gomme in modo che abbiano lo stesso fattore di allungamento e, quindi, lo stesso sforzo di carico. Mi atterrò quindi alla seguente ipotesi: stessa sezione e stessi fattori di allungamento.

Fig. 3. Diagramma di carico della coppia di circolari vincolati nello stesso foro di alloggiamento. Presentando lo stesso fattore di allungamento i circolari richiedono lo stesso sforzo di carico, ma l'energia immagazzinata nel secondo circolare è maggiore per via della maggiore corsa che esso deve fare per essere agganciato alla seconda pinnetta. Anche le costanti elastiche (pendenze delle rette di carico) sono differenti.

         Se si analizza il relativo diagramma di allungamento (fig.3) si potrebbe pensare che questa soluzione dovrebbe essere più vantaggiosa rispetto alla precedente: infatti gli elastici immagazzinano una quantità di energia superiore (area compressa tra le due rette di carico) rispetto al caso 1. In teoria è così, ma in pratica?

L’energia immagazzinata dai due elastici è data da:

(5)

A questo punto ho visto che molti calcolano la velocità di eiezione sostituendo l'energia potenziale totale direttamente nella (2):

(6)

Ma è un evidente errore. Il motivo, se non è già chiaro, lo spiegherò a breve.

 

Dall’analisi del diagramma di fig. 3, notiamo anche che le costanti elastiche dei circolari sono differenti e questo è dovuto al fatto che il modulo di Young E (che è identico per entrambi) dipende dalla lunghezza a riposo dei due spezzoni:

    

(7)

Schematizziamo il nostro doppia gomma con un coppia di molle di massa m1 e m2 rispettivamente che, compresse, sospingono un blocco (l’asta) di massa M (fig. 4 a).

La fisica ci dice che l’effetto di due molle in parallelo (come i due circolari) è equivalente all’effetto di una molla la cui costante elastica equivale alla somma di quelle delle singole molle:

(8)

Ma ciò vale fintanto che le due molle agiscono contemporaneamente (fig. 4 b). Successivamente (fig. 4 c) la massa M sarà sospinta solo dalla molla di costante k2. Questo equivale alla situazione in cui la prima gomma si è completamente contratta e l’asta è sospinta solo dalla seconda gomma.

 

Fig. 4. Tre fasi della propulsione di un blocco di massa M ad opera di due molle. Nella fase (a) le molle sono contratte; nella fase (b) la molla 1 è completamente estesa e, assieme alla molla 2, ha sospinto il blocco per un tratto DL1; nella fase (c) la molla 2 porta a termine la sua estensione sospingendo il blocco fino ad un'altezza DL2

 

A questo punto possiamo iniziare ad intuire l’errore commesso nel calcolare la velocità di eiezione tramite la (6). Infatti nella (6) stiamo conteggiando la massa m1 come se continuasse anch'essa nella proiezione, mentre si è già staccata dalla massa M. Quindi per un calcolo corretto si dovrebbe considerare il contributo di entrambe le gomme solo per un tratto pari a DLC(1) e per la restante parte solo il contributo del secondo circolare.

Di conseguenza la curva che descrive la velocità dell’asta durante la balistica interna non potrà più essere continua come nel caso 1 (i primi 60 cm della curva in fig. 2), ma dovrà presentare una variazione nella sua porzione terminale corrispondente al tratto in cui l’asta è spinta solo dal secondo elastico (fig. 5).

Fig. 5. Il grafico mette a confronto la simulazione teorica e il dato sperimentale della balistica interna di un doppio elastico con circolari alloggiati nello stesso foro.

In fig. 5 è mostrato anche il confronto con i dati sperimentali di un doppio elastico (il Mini-Jedi) con foro singolo. Ho acquisito i dati sperimentali direttamente dalle riprese ravvicinate ad alta velocità (1000 fps) della balistica interna effettuate da Dapiran e Calvenzi nel 2004.

Vale anche la pena di dare uno sguardo più dettagliato ai dati sperimentali (fig. 6). Si vede che la velocità dell’ogiva del secondo elastico segue la velocità dell’asta fino al momento del rilascio in cui subisce un rallentamento repentino. È altrettanto interessante seguire l'evoluzione della distanza che intercorre tra le ogive (la distanza tra le pinnette è 12cm). Si vede che questa si mantiene pressoché costante fino al momento in cui il primo archetto non si stacca (il primo circolare è completamente contratto) di qui in poi decresce velocemente in linea con il fatto che mentre il primo elastico subisce un notevole rallentamento, il secondo continua ad accelerare.

Fig. 6. I dati sperimentali rappresentano la balistica interna di un doppio elastico con circolari alloggiati in un singolo foro. Sono state raffigurate sia la velocità dell'asta che quella dell'ogiva del secondo elastico. Sull'asse delle ordinate di destra è rappresentata la distanza tra le ogive.

Fin qui non vi è alcun contrasto con il principio di sovrapposizione.

Ma se analizziamo un secondo tiro (fig. 7) notiamo che questa volta succede qualcosa di imprevisto. Una volta terminata la spinta del primo elastico, la velocità dell’asta e quella della seconda ogiva dopo un brevissimo tratto divergono sensibilmente: l’asta rallenta e l’ogiva schizza via per poi rallentare quando l’elastico è del tutto contratto. Anche la distanza tra gli elastici subisce una diminuzione assai più repentina che nel caso del tiro precedente.

Fig. 7. I dati sperimentali rappresentano la balistica interna di un doppio elastico con circolari alloggiati in un singolo foro. Sono state raffigurate sia la velocità dell'asta che quella dell'ogiva del secondo elastico. Sull'asse delle ordinate di destra è rappresentata la distanza tra le ogive. Questa volta però si nota come l'ogiva non accompagni l'asta fino al termine della sua contrazione.

In pratica: se nel primo caso è valso il principio di sovrapposizione ed è stata trasferita all’asta l’energia di entrambe gli elastici, nel secondo caso, invece, il surplus di energia del secondo elastico non è stato del tutto trasferito all’asta per un qualche motivo tecnico.

La causa più probabile di questo mancato trasferimento, a mio modo di vedere (ma non ho prove certe), potrebbe risiedere nello sganciamento prematuro del secondo archetto forse dovuto ad una collisione tra il secondo e il primo circolare. Il principio di sovrapposizione ha continuato a valere, dunque, fintanto che non è stato inficiato da un problema di ordine tecnico.

Tornando all'analisi dei dati, dobbiamo notare un’ulteriore circostanza che, tutto sommato, ritengo la più importante e densa di interrogativi cui non so dare una risposta adeguata: la velocità dell’asta dopo 80 cm è pressoché la stessa in entrambe i casi, sia che l’asta abbia ricevuto il surplus di energia, sia che ciò non sia avvenuto. Perché? E perché, quando si riesce a sfruttare tutta l’energia degli elastici, alla piccola accelerazione terminale corrisponde, immediatamente dopo, una marcata decelerazione come se quella frazione in più di energia venisse subito persa?

Per queste ragioni e per via dell'elevato attrito dentro il foro di passaggio che non consente un'agile operazione di equilibratura dei due bracci del circolare, ritengo che questo tipo di configurazione non abbai ragione di essere seguita e dia dei risultati meno ripetibili di quella con i fori separati e opportunamente distanziati.

    A conferma di quanto appena esposto si può notare in fig. 8 che anche per quanto riguarda il Super Jedi monoforo il contributo "residuo" del secondo elastico, incrementa realmente la velocità di uscita, ma solo per pochissimi centimetri perdendo rapidamente velocità.

Fig. 8. Confronto tra i dati sperimentali del Super Jedi e le rispettive curve teoriche.

 

Spinta del doppio circolare: altri casi

         Mi riferisco a quei casi in cui si usano coppie di circolari di sezione o fattore di allungamento differente. La fisica, e quanto abbiamo appena visto,  ci insegna che i loro effetti si sommano e la loro spinta equivale a quella di una singola gomma la cui costante elastica è pari alla somma delle singole costanti elastiche fintantoché almeno uno dei due elastici non abbia interrotto la sua spinta. Dopo di che l'asta verrà sospinta ad opera di una sola gomma se, per qualche motivo, non dovesse avvenire il distaccamento imprevisto dell'archetto. 

Il trucco sarà, quindi, quello di bilanciare opportunamente fattori di allungamento e sezioni al fine di ottenere il risultato voluto. Anche in questo caso un po’ di calcolo aiuta.

L’ultima nota: alcuni sostengono che utilizzare elastici di sezioni differenti abbia dei vantaggi. Ritengo che ci siano dei motivi specifici per effettuare una tale combinazione e ne scriverò in seguito, ma che non vi siano dei reali vantaggi. Quantomeno, sinceramente, mi sfugge del tutto il perché e, anzi, mi pare proprio che una simile asserzione sia in contraddizione con quanto si possa ragionevolmente e scientificamente supporre, ma la balistica è ricca di sorprese!

Ringraziamenti:
    Un sentito ringraziamento va sicuramente all'ing. Giorgio Dapiran che mi ha gentilmente messo a disposizione del materiale videografico inedito senza il quale i dati sperimentali a supporto di questa arbapillola sarebbero del tutto mancati.

Arba Arba

Letture

 

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Dapiran: il pescatore subacqueo del III millennio

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