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Alla ricerca dell'energia perduta

15 Settembre 2009

 

    Una discussione dettagliata di un modello fisico-matematico della balistica degli arbaletes, probabilmente, non sarebbe risultata di facile lettura per tutti. Ho scelto quindi di destinare ai più "tosti" l'articolo Confronto tra un semplice modello balistico e i dati sperimentali degli Jedi, mentre, per una lettura semplificata, ne ho riassunto in questa prima "arbapillola" i concetti principali sottolineando come il filo conduttore dell'approccio seguito sia la ricerca dell'energia che viene perduta nella propulsione e che quindi non viene trasferita all'asta.

 

    Caricando un arbalete, gli si fornisce una determinata quantità di energia UC. Questa energia resta immagazzinata per la maggior parte negli elastici e in parte viene immediatamente ridistribuita e scambiata con le altre porzioni del sistema con cui gli elastici interagiscono: si generano attriti interni all'elastico, il fusto e l'asta si deformano, si creano attriti tra i meccanismi di ritenuta dell'asta e l'asta stessa. Quindi, già prima dello sparo, una parte dell'energia fornita inizialmente al sistema è stata sottratta agli elastici e non può più essere utilizzata per fornire il lavoro che serve a proiettare l'asta. E' necessario, però, fare notare che questi fenomeni dissipativi non sono tutti della stessa entità e la maggior parte possono essere tranquillamente ignorati. Il solo fenomeno che domina energeticamente questa fase è la dissipazione interna all'elastomero dovuta al rilassamento della sua struttura molecolare.

Fig. 1. Le curve rappresentano l'andamento sperimentale delle velocità dello Jedi 106 relativamente a differenti configurazioni di aste e sezioni di circolari rilevate tramite una videocamera da 1000 fps.


 

Fig. 2. Le curve rappresentano l'andamento sperimentale delle velocità dell'asta del roller-gun RG1. I valori di velocità sono stati rilevati tramite un dispositivo ideato dall'ing. Niko Brummer.

   

Ma anche la fase di spinta, corrispondente alla balistica interna, ovvero quella che va dall'istante in cui l'asta si sgancia a quello in cui abbandona gli archetti, è fortemente dissipativa e, anche in questo caso, dominata dalla dissipazione interna all'elastomero durante la fase di contrazione. A causa di tale fenomeno, detto isteresi, l'energia Us  restituita dalle gomme è inferiore a quella spesa per caricarle: Us = hUC dove il parametro h < 1 è la resilienza percentuale. In questa fase l'energia degli elastici viene spesa sia per spingere l'asta sia per accelerare la loro stessa massa, quella degli archetti e delle ogive. Tutto ciò comporta ancora una volta che il sistema scambi energia tanto con il mezzo circostante, l'acqua, quanto con le varie altre parti del fucile. In tal modo viene erosa un'ulteriore frazione dell'energia del ciclo di scarico degli elastici Ed = eUs.  Ad elastici completamente contratti, tutta l'energia residua, Us - eUs, si sarà tramutata nell'energia cinetica necessaria a proiettare in avanti l'asta (compresi gli elastici e gli archetti, ovvero le masse mp proiettate) e a sospingere in direzione opposta la massa del fucile e una porzione della massa del pescatore a causa del rinculo: Us - eUs = Tp + TR. La velocità di eiezione dell'asta è quindi limitata dal fenomeno del rinculo in misura inversamente proporzionale alla "massa equivalente di rinculo" (massa del fucile, braccio e condizioni di tiro sintetizzate nel parametro m):

 

    Questa espressione è molto rilevante perché ci consente di comprendere quanta importanza abbia avere un fucile di massa considerevole, compatibilmente con le esigenze di brandeggio. Infatti tanto più è grande la quantità meq = mmF (condizioni di tiro moltiplicato massa del fucile) rispetto alla somma delle masse proiettate (asta, elastici e archetti), tanto più risulterà elevata la velocità di eiezione.

    Ipotizzando che la spinta degli elastici si possa approssimare con un modello lineare, si ottiene che la velocità dell'asta durante la fase di contrazione cresce secondo la legge:

dove la DLC è la lunghezza di carico degli elastici.

 

    Se ci soffermiamo sul modo in cui abbiamo ricavato le grandezze principali della balistica interna, si capisce che proprio la quantità di energia realmente trasferita all'asta è un parametro di fondamentale importanza per poter costruire un modello che possa descrivere da vicino la balistica dell'arbalete. Tuttavia conoscerla con esattezza a priori senza effettuare una verifica sperimentale è impossibile in quanto essa dipende dalla energia resa dall'elastico tramite il parametro h, dalle resistenze idrodinamiche e dalle caratteristiche del progetto tramite il parametro e e dalle condizioni di tiro tramite il parametro m. Il tentativo di modellizzazione, quindi, ha il suo limite in questa difficoltà di valutazione dell'energia "perduta" che, chiaramente, dipende da fattori assai variabili: le modalità e l'ammontare con cui verrà dispersa e dissipata saranno molto diversi da caso a caso.

    Operativamente si potrà calcolare l'energia UC che dovrebbe possedere il sistema se non vi fossero dispersioni e confrontarla con l'energia Ta effettivamente trasferita all'asta al momento dell'eiezione ottenuta da una apposita valutazione sperimentale (tramite la conoscenza della massa dell'asta e della sua velocità di eiezione). La differenza sarà distribuita tra i vari contributi energetici Ei, spesi per compiere vari lavori (rinculi, deformazioni, rotazioni...), e quelli dissipativi, Qk, dovuti agli attriti e che, inizialmente, potremo considerare mescolati in un unico calderone Ed = SiEi + SkQk.

    L'affinamento del modello potrà e dovrà procedere sperimentalmente per determinare e discernere, con test disegnati appositamente, il peso e le modalità dei singoli contributi.
A questo scopo, è evidente che la sola valutazione sperimentale delle curve di velocità (sia essa eseguita con la telecamera o con i sensori optoelettronici) quanto, a maggior ragione, la scarna valutazione dei tempi di volo o delle velocità medie, non possano essere assolutamente sufficienti per la comprensione del fenomeno balistico: nella più felice delle ipotesi, si otterrebbe una stima del peso dei singoli contributi (se il test è stato svolto correttamente), ma non necessariamente si potrà essere in grado di fornirne una giustificazione fisica e pertanto una soluzione ingegneristica.
L'indagine diretta, ad esempio, tramite l'analisi di clip video ad alta velocità e l'attenta osservazione delle condizioni e dei risultati dei test balistici potrà portare a chiarire le eventuali dinamiche "nascoste" che spiegano il detrimento delle performances balistiche.

 

    Lo stesso discorso vale per la balistica esterna, ovvero quella porzione di balistica che va dal momento in cui gli archetti rilasciano la freccia fino al raggiungimento del bersaglio. In questa fase il nostro sistema è costituito dall'asta... e da ciò che viaggia con essa (il monofilo e i relativi vincoli). L'energia potenziale degli elastici che ha messo in moto l'asta è stata progressivamente trasferita alla freccia tramutandosi in energia di movimento T, ovvero cinetica. Quando gli elastici saranno tornati a riposo, l'energia potenziale non sarà più disponibile e l'asta, non ricevendo alcuna spinta, procederà nel suo moto solo grazie alla energia cinetica che possiede e che, progressivamente, va riducendosi per via delle resistenze idrodinamiche che si oppongono al suo moto e per via delle oscillazioni (spine) e rotazioni (spin) cui è sottoposta. Il tutto causa la diminuzione esponenziale di velocità che tutti conosciamo e che abbiamo osservato nei tracciati di velocità degli ingegneri Brummer e Dapiran (Fig. 1 e 2):

v(x) = vej exp(-a x/2)

Una volta ancora, la partita con la modellizzazione si gioca sul tavolo della quantificazione dell'energia perduta e questa dipenderà, ancora una volta, da fattori che non sempre potremo identificare a priori con esattezza.

    Tramite la valutazione su base sperimentale dei vari parametri da cui dipende la balistica degli Jedi, si può dimostrare la validità formale del modello proposto come si può osservare dalla elevata corrispondenza tra le curve sperimentali e la loro simulazione (Fig. 3).

 

Fig. 3. Confronto tra l'andamento della velocità dello Jedi 106 rilevata sperimentalmente e la simulazione.

 

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